\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[latin1]{inputenc}
%\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{ngerman}
\selectlanguage{naustrian}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsthm}

\DeclareMathOperator{\ggT}{ggT}

\newtheorem{satz}{Satz}
\renewcommand{\proofname}{Beweis}

\newcommand{\vr}[1]{Sei $#1$ ein endlich-dimensionaler $K$-Vektorraum.}

\begin{document}
Hello World.

Wir schreiben eine neue Formel: \today

Für alle natürlichen Zahlen $n$ gilt
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n    +    1)}{6}.
\end{equation}
Man kann nat\"urlich nat\"urlich schreiben.
Man kann natürlich längere Formeln als \emph{inline-Formeln} schreiben: Also 
schreiben wir zum Beispiel eine falsche Formel $\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n\frac{1}{(n+1)}(2n    +    1)}{6}.$

Aufpassen muss man bei Operatoren im Stil von
\begin{equation}\label{pythagoras-fuer-winkelfunktionen}
 \sin^2 x+ \cos^2 x=1,
\end{equation}
für Operatoren wie Sinus, Cosinus und so weiter sind vordefinierten Operatoren zu verwenden. Wir können auch eigene Operatoren definieren: $\ggT(12,8)=4$.

Auf Formeln verweist man natürlich nie durch händisches Eintippen der Formelnummer, sondern man verwendet den label/ref-Mechanismus: Wir verweisen auf Gleichung~\eqref{pythagoras-fuer-winkelfunktionen}.

Für ein lineares Gleichungssystem brauchen wir mehrere untereinanderstehende Formeln. Dafür findet man manchmal den Befehl eqnarray. \textbf{Dieser ist \Huge verboten.}.  Stattdessen gibt es align und andere lustige Dinge (siehe AMS\LaTeX-Dokumentation.)
\begin{align*}
 2x+y&=17\\
 3x+2y&=33
\end{align*}

Man schreibt immer vollständige deutsche Sätze. Ein Satz beginnt nie mit einer Formel. Schlimmstenfalls fügt man Füllwörter ein. Auch stehen zwei Formeln nie nebeneinander. 

\begin{satz}Für alle reellen Zahlen $x$ gilt $\sin^2x+\cos^2x=1$.
\end{satz}
\begin{proof}
Das folgt aus dem pythagoräischen Lehrsatz. 
\end{proof}

\meineliebsteabk

\vr{V} \vr{W}

\textbf{Wichtig: }Abgaben, die nicht fehlerfrei kompilieren, sind sofort mit 0 Punkten beurteilt.

\end{document}